Question

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的性质，求出m，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，∴-2m²+m+3为偶数，
又f（3）＜f（5），∴3-2m2+m+3＜5-2m2+m+3，即有：(

3

5

)-2m2+m+3＜1，
∴-2m²+m+3＞0，∴-1＜m＜

3

2

，又m∈Z，∴m=0或m=1．
当m=0时，-2m²+m+3=3为奇数（舍去），
当m=1时，-2m²+m+3=2为偶数，符合题意．
∴m=1，f（x）=x²
（2）由（1）知：g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a （x²-ax） （a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．
令u（x）=x²-ax，y=log_au； 
①当a＞1时，y=log_au为增函数，只需u（x）=x²-ax在区间[2，3]上为增函数．
即：

a 2 ≤2 u(2)=4-2a＞0

⇒1＜a＜2
②当0＜a＜1时，y=log_au为减函数，只需u（x）=x²-ax在区间[2，3]上为减函数．
即：

a 2 ≥3 u(3)=9-3a＞0

⇒a∈∅，
综上可知：a的取值范围为：（1，2）．

点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，以及与对数函数有关的复合函数，综合性较强，运算量较大．