Question

已知f（x）=（cos⁴x-sin⁴x）+2
（1）求函数f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：先由同角正余弦的关系式及余弦的倍角公式把原函数转化为y=cosωx的形式，再利用y=cosωx的性质解决问题；

解答： 解：f（x）=cos⁴x-sin⁴x+
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）+2
=1•cos2x+2
=cos2x+2，
（1）∴函数的最小正周期为T=π，最大值为3，最小值为1；
（2）∵y=cosx的单调递减区间为{2kπ，2kπ+π]即
2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
∴kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

点评：本题考查了利用倍角公式化简三角函数，求其最值、最小正周期、及单调区间；关键是化为y=sinωx或者y=cosωx的形式．