Question

设在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E、F依次为C₁C，BC的中点．
（1）求异面直线A₁B、EF所成角θ的余弦值；
（2）求点B₁到平面AEF的距离．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）建立平面直角坐标系，明确A₁、B、E、F的坐标，异面直线A₁B、EF所成角利用向量的数量积解答．
（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B₁到平面AEF的距离．

解答： 解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），
（1）

A1B

=（2，0，-2），

EF

=（1，-1，-1），
∴cosθ=

A1B • EF

| A1B || EF|

=

2+2

2 2 3

=

6

3

；
（2）设平面AEF的一个法向量为

n

=（a，b，c），

AE

=（0，2，1），

AF

=（1，1，0）
由

n • AE =0 n • AF =0

得

2b+c=0 a+b=0

，
令a=1，可得

n

=（1，-1，2），
∵

AB1

=（2，0，2），
∴d=

| AB1 • n |

| n|

=

6

6

=

6

，
∴点B₁到平面AEF的距离为

6

．

点评：此题主要考查异面直线所成角的求法以及点到平面的距离的计算．解题时要认真审题，注意适当建立平面直角坐标系，运用向量法使解答更简便．