Question

为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛．
（Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；
（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出甲不在第一位、乙不在第六位的概率．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，…（1分）
则P(A)=

A 6 6 -2 A 5 5 + A 4 4

A 6 6

=

7

10

…（3分）
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为

7

10

．…（4分）
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4…（5分）
P(X=0)=

A 2 2 A 5 5

A 6 6

=

1

3

，
P(X=1)=

C 1 4 A 2 2 A 4 4

A 6 6

=

4

15

，
P(X=2)=

C 2 4 A 2 2 A 2 2 A 3 3

A 6 6

=

1

5

，
P(X=3)=

C 3 4 A 2 2 A 2 2 A 3 3

A 6 6

=

2

15

，
P(X=4)=

A 2 2 A 4 4

A 6 6

=

1

15

，（每个式子1分）…（10分）
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	1 3	4 15	1 5	2 15	1 15

因为 EX=0×

1

3

+1×

4

15

+2×

1

5

+3×

2

15

+4×

1

15

=

4

3

，
所以随机变量X的数学期望为

4

3

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．