Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）若函数f（x）=k•2^x+b属于集合M，试求实数k和b满足的条件；
（3）设函数f（x）=lg

a

x2+2

属于集合M，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,元素与集合关系的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：（1）若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，解方程即可判断；
（2）由函数满足的性质，可得k•2^x₀=2k+b，对k讨论，即可得到；
（3）由函数满足的性质，化简得（a-3）x₀²+2ax₀+3a-6=0，讨论当a=3时，当a＞0且a≠3时，方程解的情况，即可得到．

解答： 解：（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，
使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数（x）=

1

x

∉M．
（2）D=R，由f（x）=k•2^x+b∈M，存在实数x₀，使得
k•2^x₀+1+b=k•2^x₀+b+2k+b，k•2^x₀=2k+b，若k=0，则b=0，
k≠0有

2k+b

k

＞0，
所以，k和b满足的条件是k=0，b=0或

2k+b

k

＞0．
（3）由题意，a＞0，D=R．由f（x）=lg

a

x2+2

∈M，存在实数x₀，使得
lg

a

(x0+1)2+2

=lg

a

x02+2

+lg

a

3

，
所以，

a

(x0+1)2+2

=

a

x02+2

•

a

3

，
化简得（a-3）x₀²+2ax₀+3a-6=0，
当a=3时，x₀=-

1

2

，符合题意．             
当a＞0且a≠3时，
由△≥0得4a²-18（a-3）（a-2）≥0，化简得
2a²-15a+18≤0解得

3

2

≤a≤6且a≠3                 
综上，实数a的取值范围是

3

2

≤a≤6．

点评：本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题．