Question

由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的四位数．
（1）偶数有多少个？
（2）能被5整除的数有多少个？
（3）能被3整除的数有多少个？

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（1）需要分两类，当末位是数字0时，当末位不是0时，根据分类计数原理得到结果．
（2）能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，当末位是数字5时，根据分类计数原理得到结果．
（3）各位数字之和是3的倍数能被3整除，符合题意的有：一类：含0、3则需1、4 和2、5各取1个，可组成C₂¹C₂¹C₃¹A₃³；二类：含0或3中一个均不适合题意；三类：不含0，3，由1、2、4、5可组成A₄⁴个，相加得到结果．

解答： 解：（1）当末位是数字0时，可以组成A₅³=60个，当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C₂¹C₄¹A₄²=96个，根据分类计数原理知共有60+96=156个偶数，
（2）能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，可以组成A₅³=60个，当末位是数字5时，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，有C₄¹A₄²=48个，根据分类计数原理知共有60+48=108个，
（3）各位数字之和是3的倍数能被3整除，符合题意的有：一类：含0、3则需1、4 和2、5各取1个，可组成C₂¹C₂¹C₃¹A₃³；二类：含0或3中一个均不适合题意；三类：不含0，3，由1、2、4、5可组成A₄⁴个，共有C₂¹C₂¹C₃¹A₃³+A₄⁴=96个．

点评：本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，解题的关键是注意0不能在首位，注意分类和分步的应用．