Question

已知函数f（x）=

-x2+ 1 2 x，x＜0 ln(x+1)，x≥0

，若函数y=f（x）-kx有三个零点，则实数k的取值范围（　　）

• A、（0，1）
• B、（

  1

  2

  ，2）
• C、（-1，1）
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：分别求出x＜0和x≥0时函数y=f（x）-kx零点的取值情况，利用数形结合切点和直线y=kx，k的取值范围即可得到．

解答： 解：由y=f（x）-kx=0，得f（x）=kx
∵f（0）=ln1=0，
∴x=0是函数y=f（x）-kx的一个零点，
当x＜0时，由f（x）=kx，
得-x²+

1

2

x=kx，
即-x+

1

2

=k，解得x=

1

2

-k，
由x=

1

2

-k＜0，解得k＞

1

2

，
当x＞0时，函数f（x）=ln（x+1），
f'（x）=

1

x+1

∈（0，1），
∵x＞0，
∴要使函数y=f（x）-kx在x＞0时有一个零点，
则0＜k＜1，
∵k＞

1

2

，
∴

1

2

＜k＜1，
即实数k的取值范围是（

1

2

，1），
故选：D．

点评：本题主要考查函数零点的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，将函数零点转化为函数图象相交问题，利用数形结合是解决此类问题的关键，利用切线的临界位置是解决问题的突破点．