Question

如果存在正实数a，使得f（x-a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”．给出下列四个函数：
①f（x）=（x-1）⁵+5
②f（x）=cos2（x-

π

4

）
③f（x）=sinx+cosx
④f（x）=ln|x+1|
其中“和谐函数”的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：新定义

分析：①由f（0）=4≠0，故无论正数a取什么值，f（x-a）都不是奇函数，因此函数f（x）不可能是“和谐函数”；
②先化简f（x）=sin2x，因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移

π

4

的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；
③由f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，因为只有将函数f（x）的图象向左

π

4

的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；
④只有f（x-1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故可得出答案．

解答： 解：①由f（x）=（x-1）⁵+5∵f（0）=4≠0，∴无论正数a取什么值，f（x-a）都不是奇函数，函数f（x）不可能是“和谐函数”；
②②∵f（x）=cos（2x-

π

2

）=sin2x，
∴当α=kπ±

π

4

时，f（x±a）=sin（2x±2kπ±

π

2

）=±cos2x为偶函数；
当α=kπ±

π

2

时，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx为奇函数．
因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移

π

4

的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”；
③由f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，因为f（x-

π

4

）=

2

sinx是奇函数，f（x+

π

4

）=

2

cosx是偶函数，故是“和谐函数”；
④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．
综上可知：①②④都不是“和谐函数”．
故答案为1个．
故选：A．

点评：正确理解“和谐函数”的意义是解题的关键．