Question

已知二项式（

x

-

2

x2

）ⁿ，（n∈N^*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和；
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）运用二项式的通项，即可得到

C 4 n (-2)4

C 2 n (-2)2

=10，求出n=8，再令x=1即可得到；
（2）求出展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值，若第r+1项的系数绝对值最大，列出不等式，解出r的范围，即可判断系数最大项，注意符号，二项式系数最大项为中间项．

解答： 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴

C 4 n (-2)4

C 2 n (-2)2

=10，解得n=8；
令x=1得到展开式中各项的系数和为（1-2）⁸=1；
（2）展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值
分别为

C

r-1 8

•2r-1，

C

r 8

•2r，

C

r+1 8

•2r+1，
若第r+1项的系数绝对值最大，
则必须满足：

C

r-1 8

•2r-1≤

C

r 8

•2r，
 并且

C

r+1 8

•2r+1≤

C

r 8

•2r，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T₇=1792•

1

x11

；
二项式系数最大的项为T₅=1120•

1

x6

点评：本题考查二项式定理的运用，求指定项的系数，求展开式中的系数最大项和二项式系数最大的项，注意运用不等式求解，属于中档题．