Question

已知（2

x

+

3	x2

）ⁿ的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是7：2．
（Ⅰ）求展开式中含x 

11

2

项的系数；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（Ⅰ）由第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是7：2，求出n，再求展开式中含x项的系数；
（Ⅱ）设第r+1项的系数最大，则有

C r 9 •29-r≥ C r-1 9 •210-r C r 9 •29-r≥ C r+1 9 •28-r

，即可求展开式中系数最大的项．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知

C 4 n

C 2 n

=

7

2

，整理得42=（n-2）（n-3），解得n=9…（2分）
∴通项公式为Tr+1=

C

r 9

•29-rx

27+r

6

…（4分）
令

27+r

6

=

11

2

，解得r=6．
∴展开式中含x

11

2

项的系数为

C

6 9

•29-6=672．…（6分）
（Ⅱ）设第r+1项的系数最大，则有

C r 9 •29-r≥ C r-1 9 •210-r C r 9 •29-r≥ C r+1 9 •28-r

…（8分）
∴

r≤ 10 3 r≥ 7 3

，
∵r∈N且0≤r≤9，∴r=3．…（10分）
∴展开式中系数最大的项为T4=

C

3 9

•26x5=5376x5．…（12分）

点评：本题考查二项展开式中二项式系数与系数和展开式中最大的项问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．