Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2．
（1）M是AB上一点，且AM=

3

3

，F是PC上一点，则当

PF

FC

为何值时，BF∥平面PDM？
（2）E为PD的中点，在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求NE与平面PAD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当

PF

FC

=2时，BF∥平面PDM．F作FG∥PD，交CD于G，则CG=

1

2

GD，连结BG，得四边形BMDG这平行四边形，由此能证明BF∥平面PDM．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出NE与平面PAD所成角．

解答： 解：（1）当

PF

FC

=2时，BF∥平面PDM．
证明如下：
F作FG∥PD，交CD于G，则CG=

1

2

GD，连结BG，
∵AB

∥

.

CD，AM=

1

2

MB，
∴BM

∥

.

DC，即四边形BMDG这平行四边形，∴BG∥DM，
∴平面BFG∥平面PDM，
∵BF?平面BFG，∴BF∥平面PDM．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（

3

，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，

1

2

，1），
则

AP

=(0，0，2)，

AC

=（

3

，1，0），
由于N点在侧面PAB内，
故设N（x，z），则

NE

=（-x，

1

2

，1-z），
由NE⊥平面PAC，得

NE • AP =z-1=0 NE • AC =- 3 x+ 1 2 =0

，
∴

NE

=（-

3

6

，

1

2

，0），
∵平面PAD的一个法向量

n

=(1，0，0)，
∴|cos＜

NE

，

n

＞|=

|- 3 6 |

3 3

=

1

2

，
设NE与平面PAD所成角为θ，
则sinθ=

1

2

，∴θ=

π

6

，
∴NE与平面PAD所成角为

π

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的大小，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．