Question

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），{25，30），[30，35），[35，40）[40，45]．
（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中，按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（I）根据小矩形的面积等于频率，而频率之和等于0．即可得出x，再用频率×总体容量即可．
（II）分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名；则其中年龄“低于35岁”的人有10×（0.01+0.04+0.07）×5=6名，“年龄不低于35岁”的人有4名．X的可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布即可得出，再利用数学期望的计算公式即可得出

解答： 解：（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）．
（II）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，
则其中年龄“低于35岁”的人有6名，
“年龄不低于35岁”的人有4名．
故X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P（X=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．
故X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

∴EX=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=1.8．

点评：本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布及其数学期望、概率计算公式等基础知识与基本技能，属于中档题．