Question

已知多项式f（x）=（x+

2

x

）ⁿ，若f（x）展开式中二项式系数和为512．
（1）求f（x）展开式中的常数项；
（2）求f（x）展开式中系数和；
（3）求f（x）展开式中x的整式多项式的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）利用展开式中的所有二项式系数和为512，先求出n，然后利用二项展开式的通项公式求常数项．
（2）令x=1，即可得到展开式中所有项的系数之和．
（3）由

18-3r

2

，可得整式多项式的项r=0，2，4，6，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵展开式中的所有二项式系数和为512．
∴2ⁿ=512，解得n=9．
则第r+1项为通项公式为：T_r+1=

C

r 9

x9-r(

2

x

)r=

C

r 9

2^r•x9-

3

2

r，（r=0，1，2，…，9）
令9-r-

r

2

=0，可得r=6．
故常数项为T₇=21×2⁸；
（2）令x=1，得系数和为（1+2）⁹=3⁹．
（3）由

18-3r

2

，可得整式多项式的项r=0，2，4，6，
即T₁=x⁹，T₃=144x⁶，T₅=63•2⁵•x³，T₇=21•2⁸．

点评：本题主要考查二项展开式定理的应用，利用换元法将多项式转化为我们熟悉的多项式形式是解决本题的关键．