Question

下列五个说法：
①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
②?x₀∈R，使得sinx₀+cosx₀=

2

③若函数f（x）在（-∞，0]及（0，+∞]上都是减函数，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
④垂直于同一直线的两条直线相互平行
⑤“0＜x＜2”是“x≤2”的充分不必要条件
其中说法正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由逆命题和否命题是等价命题，能判断①的正误；由sin

π

4

+cos

π

4

=

2

，能判断②的正误；若函数f（x）是分段函数，则即使在（-∞，0]及（0，+∞]上都是减函数，则f（x）在（-∞，+∞）上也不一定是减函数；垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面；“0＜x＜2”⇒“x≤2”，反之则不成立．

解答： 解：在①中，∵逆命题和否命题是等价命题，
∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故①正确；
在②中，∵sin

π

4

+cos

π

4

=

2

，
∴?x₀∈R，使得sinx₀+cosx₀=

2

，故②正确；
在③中，若函数f（x）是分段函数，
则即使在（-∞，0]及（0，+∞]上都是减函数，
则f（x）在（-∞，+∞）上也不一定是减函数，故③错误；
在④中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故④错误；
在⑤中，“0＜x＜2”⇒“x≤2”，反之则不成立，
∴“0＜x＜2”是“x≤2”的充分不必要条件，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题、三角函数、分段函数、直线位置关系、不等式等知识点，是中档题．