Question

已知圆M：x²+（y-1）²=r²（r＞0）与x轴交于A（-2，0），B（2，0）两点，O为坐标原点，射线y=x（x≥0）交圆M于点C，射线y=-x（x≥0）交圆M于点D．
（1）求r的值和弦CD所在直线的方程；
（2）弦CD上是否存在一点N，使得∠AND=∠BND？若存在，求出点N的坐标；若不存在，证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用圆M：x²+（y-1）²=r²（r＞0）与x轴交于A（-2，0），B（2，0）两点，求出r，再求出C，D的坐标，即可求出弦CD所在直线的方程；
（2）ND为∠ANB的平分线，设CD交x轴于点E，则E(

4

3

，0)，设N（a，3a-4），利用角平分线的性质，可得

(a+2)2+(3a-4)2

(a-2)2+(3a-4)2

=5，整理得6a²-17a+12=0，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，r=

5

，∴圆M：x²+（y-1）²=5．
圆M：x²+（y-1）²=5与y=x（x≥0），联立可得x=2，y=2，即C（2，2）；
圆M：x²+（y-1）²=5与y=-x（x≥0），联立可得x=1，y=-1，即C（1，-1）；
∴弦CD所在直线的方程为3x-y-4=0；
（2）∵∠AND=∠BND，
∴ND为∠ANB的平分线，
设CD交x轴于点E，则E(

4

3

，0)
所以|AE|=

10

3

，|BE|=

2

3

，则

|NA|

|NB|

=

|EA|

|EB|

=5
设N（a，3a-4），

(a+2)2+(3a-4)2

(a-2)2+(3a-4)2

=5，整理得6a²-17a+12=0
解得a=

3

2

或a=

4

3

代入得N(

3

2

，

1

2

)或N(

4

3

，0)
因为N(

4

3

，0)在AB上，且CD不不垂直x轴，故N(

4

3

，0)不符合
所以弦CD上存在一点N(

3

2

，

1

2

)，使得∠AND=∠BND…（10分）

点评：本题考查直线与圆的方程，考查角平分线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．