Question

如图，在直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA₁=2

3

，P、Q分别是棱A₁D₁和AD的中点，R为PB的中点．
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）求出平面RQC的法向量和平面QCB的法向量，由此能求出二面角R-QC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得Q（0，0，0），P（0，0，2

3

），
B（0，2

3

，0），R（0，

3

，

3

），
C（-4，2

3

，0），

QR

=（0，

3

，

3

），

PB

=（0，2

3

，-2

3

），

PC

=（-4，2

3

，-2

3

），
∴

QR

•

PB

=0，

QR

•

PC

=0，
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：

QR

=（0，

3

，

3

），

QC

=（-4，2

3

，0），
设平面RQC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • RQ = 3 y+ 3 z=0 n • RC =-4x+2 3 y=0

，
取y=-2

3

，得

n

=（3，-2

3

，2

3

），
又平面QCB的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2 3

33

=

2 11

11

．
∴二面角R-QC-B的余弦值为

2 11

11

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．