Question

已知

a

=（3sinx，

3

)，

b

=（cosx，cos²x-

1

2

），函数f（x）=

a

•

b

，
（1）求函数f（x）的周期；
（2）写出函数f（x）的递减区间；
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的最值并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=

a

•

b

=

3

sin(2x+

π

6

)．
（1）利用T=

2π

ω

即可得出周期；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．
（3）利用已知区间及其正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：函数f（x）=

a

•

b

=3sinxcosx+

3

(cos2x-

1

2

)
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

sin(2x+

π

6

)．
（1）T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．
（3）由0≤x≤

π

2

得，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴当2x+

π

6

=

7π

6

，x=

π

2

时，f(x)min=-

3

2

，
当2x+

π

6

=

π

2

，x=

π

6

时，f(x)max=

3

．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．