Question

在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，

sin(A-B)

sin(A+B)

=

a2-b2

a2+b2

=-

7

25

．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC外接圆为⊙O，点P位于劣弧

AC

上，∠APB=60°，求四边形ABCP的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理将条件进行化简即可判断△ABC的形状；
（2）根据两角和与差的三角公式，即可求四边形ABCP的面积．

解答： 解：（1）∵

sin(A-B)

sin(A+B)

=

a2-b2

a2+b2

，
∴（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
即b²sinAcosB=a²cosAsinB，
由正弦定理得sin²BsinAcosB=sin²AcosAsinB，
∴sinBcosB=sinAcosA，即sin2A=sin2B，
则2A=2B或2A=π-2B，
即A=B或A+B=

π

2

，
∵

a2-b2

a2+b2

=-

7

25

≠0，
∴a≠b，
故A+B=

π

2

，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵

a2-b2

a2+b2

=-

7

25

，c=10，
∴a²+b²=100，
即a²-b²=-28，
解得a=6，b=8，
则Rt△ABC中，sin∠CAB=

3

5

，cos∠CAB=

4

5

，
sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB=

4 3 -3

10

，
连BP，CP，则AP=ABcos60°=5，
则四边形ABCP的面积S=S△ABC+S△PBC=

1

2

ab+

1

2

AP•ACsin∠PAC=18+8

3

．

点评：本题主要考查三角形形状的判断，以及正弦定理的应用，综合考查了三角函数的公式的应用，