Question

设f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N），是否存在关于正整数的函数g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）•[f（n）-1]对于n≥2的一切自然数都成立？证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：当n=2时，f（1）=g（2）•[f（2）-1]，依题意，易求g（2）=

f(1)

f(2)-1

=2；n=3时，同理可求g（3）=3，猜测g（n）=n（n≥2）．然后利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：当n=2时，f（1）=g（2）•[f（2）-1]，又f（1）=1，f（2）=

3

2

，得g（2）=

f(1)

f(2)-1

=2；
n=3时，f（1）+f（2）=g（3）[f（3）-1]，得g（3）=3，猜测g（n）=n（n≥2）．
下面用数学归纳法证明：等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）•[f（n）-1]对于n≥2的一切自然数都成立．
①当n=2时，已证等式成立．
②假设当n=k时，f（1）+f（2）+…+f（k-1）=k[f（k）-1]成立（k≥2），
那么n=k+1时，f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=k[f（k）-1]+f（k）=（k+1）f（k）-k．而f（k+1）=f（k）+

1

k+1

，
∴（k+1）f（k）-k=（k+1）[f（k+1）-

1

k+1

]-k=（k+1）f（k+1）-（k+1）=（k+1）[f（k+1）-1]，
∴当n=k+1时，等式成立．
∴由①、②知，对一切n≥2的自然数等式都成立，故存在函数g（n）=n（n≥2），使等式成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查递推关系的分析与应用，求得g（2）=2，g（3）=3，猜测g（n）=n（n≥2）是关键，考查运算、推理论证的能力，属于中档题．