Question

如图，点P在矩形ABCD平面外，AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由勾股定理得AD⊥PA，由矩形性质得AD⊥AB，由此能证明AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，由已知得∠PEH是二面角P-BD-A的平面角，由此能求出直线PC与平面ABCD所成的角的大小．

解答： （1）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2

2

，
得PA²+AD²=PD²，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，
因为AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
所以AD⊥PH，又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影，
由三垂线定理可知，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，
PH=PAsin60°=

3

，AH=PAcos60°=1，
∴BH=3-1=2，∴CH=

22+22

=2

2

，
∴tan∠PCH=

PH

CH

=

3

2 2

=

6

4

，
∴直线PC与平面ABCD所成的角的大小为arctan

6

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．