Question

已知函数f（x）=ln（2+x）-ln（2-x），
（1）求f（0）的值；
（2）求函数的定义域；
（3）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将x=0代入解析式计算；
（2）只要使函数解析式的每一部分都有意义，即解不等式组

2+x＞0 2-x＞0

即可；
（3）已经明确定义域关于原点对称，所以只要利用奇偶函数的定义判断即可．

解答： 解：（1）因为f（x）=ln（2+x）-ln（2-x），所以f（0）=ln（2+0）-ln（2-0）=0；
（2）要使函数f（x）=ln（2+x）-ln（2-x）有意义，必须满足不等式组

2+x＞0 2-x＞0

，解得-2＜x＜2；
所以函数定义域为（-2，2）．
（3）函数y=f（x）是奇函数；
理由为：由（2）知，函数定义域关于原点对称，
∵f（-x）=ln（2-x）-ln（2+x）=-[ln（2+x）-ln（2-x）]=-f（x），
∴函数y=f（x）是奇函数．

点评：本题考查了函数奇偶函数的判断；首先要判定函数定义域是否关于原点对称，如果关于原点对称，继续利用奇偶函数的定义判断f（-x）与f（x）的关系．