Question

已知f（x）是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用I_k表示区间（2k-1，2k+1]．已知当x∈I₀，f（x）=sin²x
（1）求f（x）在I_k上的解析表达式；
（2）当x∈[2，2+

π

4

]时，令g（x）=f（x）+（2a-1）

f(x)

+a²+

1

4

，求g（x）的最大值与最小值（用a表示）并写出对应的x值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的周期性

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由周期性求f（x）=f（x-2k）=sin²（x-2k）．x∈（2k-1，2k+1]，（2）分类讨论求出g（x）的最大值与最小值（用a表示）并写出对应的x值．

解答： 解：（1）任取x∈（2k-1，2k+1]，∵T=2
∴f（x-2k）=f（x），
而x-2k∈（-1，1]．
∴f（x）=f（x-2k）=sin²（x-2k）．
（2）x∈[2，2+

π

4

]时，
g（x）=f（x）+（2a-1）

f(x)

+a²+

1

4

，
=sin²（x-2）+（2a-1）sin（x-2）+a²+

1

4

，
令t=sin（x-2），则t∈[0，

2

2

]
设h（t）=t²+（2a-1）t+a²+

1

4

①当

2

2

≤

1

2

-a，即a≤

1- 2

2

时，
h（t）在[0，

2

2

]上单调递减；
h（t）_min=h（

2

2

）=a²+

2

a+

3-2 2

4

，此时x=2+

π

4

；
h（t）_max=h（0）=a²+

1

4

，此时x=2．
②当0＜

1

2

-a＜

2

2

，即

1- 2

2

＜a＜

1

2

时，
h（t）_min=h（

1

2

-a）=a，此时x=2+αrcsin（

1

2

-a）；
若0＜

1

2

-a≤

2

4

即

2- 2

4

≤a＜

1

2

时，
h（t）_max=h（

2

2

）=a²+

2

a+

3-2 2

4

，此时x=2+

π

4

；
若

2

4

＜

1

2

-a＜

2

2

即

1- 2

2

＜a＜

2- 2

4

时，
h（t）_max=h（0）=a²+

1

4

，此时x=2．
③当

1

2

-a≤0，即a≥0时，
h（t）在[0，

2

2

]上单调递增；
h（t）_min=h（0）=a²+

1

4

，此时x=2；
h（t）_max=h（

2

2

）=a²+

2

a+

3-2 2

4

，此时x=2+

π

4

；
综上所述，
g（x）_min=

a2+ 1 4 ，a≤ 2- 2 4 ，此时x=2 a2+ 2 a+ 3-2 2 4 ，a＞ 2- 2 4 ，此时x=2+ π 4

g（x）_max=

a2+ 1 4 ，(a≥ 1 2 )，此时x=2 a，( 1- 2 2 ＜a＜ 1 2 )，此时x=αrcsin( 1 2 -a)+2 a2+ 2 a+ 3-2 2 4 ，(a≤ 1- 2 2 )，此时x=2+ π 4

．

点评：本题考查了函数的性质与分类讨论的思想，化简比较困难．