Question

已知点M是圆C：（x+1）²+y²=8上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0，动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得NP为DM的垂直平分线，|ND|=|NM|，|CN|+|ND|=2

2

＞2，由此能求了轨迹E的方程．
（Ⅱ）法一：设直线AB的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值．
（Ⅱ）法二：设直线AB的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值．

解答： （Ⅰ）解：因为

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0，
所以NP为DM的垂直平分线，
所以|ND|=|NM|，又因为|CN|+|NM|=2

2

，
所以|CN|+|ND|=2

2

＞2…（4分）
所以动点N的轨迹是以点C（-1，0），D（1，0）为焦点的长轴为2

2

的椭圆．
所以轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1．…（7分）
（Ⅱ）解法一：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，
则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．…（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
所以x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

…（10分）
因为|AB|=2，所以

(1+k2)(x2-x1)2

=2，即(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-

4km

1+2k2

)2-

8(m2-1)

1+2k2

]=4，即

1

1+k2

=2(1-m2)，
因为1+k²≥1，所以

1

2

≤m2＜1． …（12分）
又点O到直线AB的距离h=

|m|

1+k2

，
因为S=

1

2

|AB|•h=h，
所以S²=h²=2m²（1-m²）=-2(m2-

1

2

)2+

1

2

…（14分）
所以0＜S2≤

1

2

，即S的最大值为

2

2

．…（15分）
（Ⅱ）解法二：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，
则弦AB不能与x垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
所以x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

．…（10分）
因为|AB|=2，所以

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
因为(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4，
所以(1+k2)[(-

4km

1+2k2

)2-

8(m2-1)

1+2k2

]=4，
所以m2=

2k2+1

2(1+k2)

，…（12分）
又点O到直线AB的距离h=

|m|

1+k2

，所以S=

1

2

|AB|•h=h．
所以S²=h²=

m2

1+k2

=

2k2+1

2(1+k2)2

=

1

1+k2

-

1

2(1+k2)2

．
设t=

1

1+k2

，则S2=-

1

2

t2+t(0＜t≤1)，…（14分）
所以0＜S2≤

1

2

，即S的最大值为

2

2

． …（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三有形面积的最大值的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．