Question

（文科）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的中点坐标为（2，1），求直线AB的方程；
（Ⅲ）当

OA

•

OB

=0时，求证：直线AB恒过定点（2p，0）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点坐标为（2，1），利用点差法能求出直线AB的方程．
（Ⅲ）设A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），则

y12y22

4p2

+y1y2=0，从而求出AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

），由此能证明AB过定点（2p，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵线段AB的中点坐标为（2，1），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y²=8x，得：

y12=8x1 y22=8x2

，两式相减，得2（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=4，
∴直线AB的方程为：y-1=4（x-2），即4x-y-7=0
（Ⅲ）证明：设A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB，
∴

y12y22

4p2

+y1y2=0，
∴y₁y₂=-4p²，
k_AB=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
∴AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

）
当y=0时，x=2p，
∴AB过定点（2p，0）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．