Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程是

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）将C₁的方程化为普通方程；
（Ⅱ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C₂的极坐标方程是θ=

π

3

（ρ∈R），求曲线C₁与C₂交点的极坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由曲线C₁的参数方程

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），利用平方关系消去参数θ化为（x-2）²+y²=4．
（II）把曲线C₂的极坐标方程θ=

π

3

（ρ∈R）化为直角坐标方程为：y=xtan

π

3

，即y=

3

x．联立

y= 3 x (x-2)2+y2=4

，解得交点，再利用ρ=

x2+y2

，tanθ=

y

x

即可化为极坐标．

解答：解：（I）由曲线C₁的参数方程

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），消去参数θ化为（x-2）²+y²=4．
（II）把曲线C₂的极坐标方程θ=

π

3

（ρ∈R）化为直角坐标方程为：y=xtan

π

3

，即y=

3

x．
联立

y= 3 x (x-2)2+y2=4

，化为x²-x=0，解得x=0，1．
当x=0时，y=0；当x=1时，y=

3

．可得两个交点O（0，0），A(1，

3

)．
化为极坐标分别为O（0，0），A(2，

π

3

)．

点评：本题考查了把极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程、极坐标与直角坐标的互化方法，属于基础题．