Question

已知向量

m

=（1，

3

），单位向量

n

满足

m

•

n

=-1．
（Ⅰ）求向量

n

；
（Ⅱ）设向量

p

=（2cos²

θ

2

，cos（

π

3

-θ）），其中θ为锐角，且向量

n

与x轴平行，求|

p

-

n

|的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,向量的模,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用向量

n

是单位向量，直接求解即可；
（Ⅱ）通过向量

n

与x轴平行，判断向量

n

，然后求|

p

-

n

|的表达式，通过角的范围求出相位的范围，然后求解所求表达式的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设向量

n

=（x，y），则依题意有：

x2+y2 =1 -x+ 3 y=-1

，…（2分）
解出：

x=1 y=0

或

x=- 1 2 y=- 3 2

  即 

n

=（1，0）或

n

=(-

1

2

，-

3

2

)．…（4分）
（Ⅱ）∵向量

n

与x轴平行，∴

n

=（1，0）…（5分）
∴

p

-

n

=（2cos²

θ

2

-1，cos（

π

3

-θ））=（cosθ，cos（

π

3

-θ）），…（6分）
∴|

p

-

n

|=cos²θ+cos²（

π

3

-θ）=

1+cos2θ

2

+

1+cos2( π 3 -θ)

2

=1+

1

2

[cos2θ+cos(

2π

3

-2θ)]=

1

2

cos(2θ-

π

3

)+1       …（8分）
∵θ为锐角，∴-

π

3

＜2θ-

π

3

＜

2π

3

．
∴-

1

2

＜

1

2

cos(2θ-

π

3

)+1≤1        …（10分）
∴|

p

-

n

|的取值范围：（

3

2

，

6

2

]…（12分）

点评：本题考查向量的模，三角函数的化简求值，函数的图象与性质的应用，考查计算能力．