Question

8．已知函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件可得出f（x）=f（x+3），f（x）是以3为周期的函数；结合条件判断f（1）+f（2）+f（3）=0，只需判断
f（1）+f（2）+…+f（2016）有几组　f（1）+f（2）+f（3）即可．

解答 解：∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x+3），f（x）=f（x+3），
∴f（x）是以3为周期的函数；
又f（1）=f（-2+3）=f（-2）=-1，f（2）=f（-1+3）=f（-1）=-1，f（3）=f（0+3）=f（0）=2，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，同理，f（4）+f（5）+f（6）=0，…
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）+f（2016）
=0
故选C．

点评 本题考查了抽象函数周期性的判断和应用．难点是对周期性的深刻理解．