Question

【题目】已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为，且与在第一象限的交点为．

(1)求曲线的方程和点的坐标；

(2)若过点且斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为．设，试求取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ， (2) ，

【解析】试题分析:(1)根据已知求得的焦点坐标,根据两条曲线的焦点距离列方程,可求得曲线焦点的坐标,进而求得抛物线方程.联立抛物线方程和椭圆方程,解方程组求得点的坐标.(2)当直线斜率不存在时,求得两点的坐标,进而求得的值.当直线的斜率存在时,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,解出点的坐标.同理联立直线的方程和抛物线的方程,解出点的坐标,利用弦长公式求得的长度,最后求得得取值范围.

试题解析:

(1)曲线C1的焦点坐标为，曲线C2的焦点坐标为，由与的焦点之间的距离为2，得，解得，∴的方程为．

由，解得，

(2)当直线的斜率不存在时，

由题意可知， ， ， 则，

当直线AB的斜率存在时，

∴设直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+1，

由，得（2k2+1）x+4k（1﹣2k）x+2（1﹣2k）2﹣6=0

则，∵xA=2，∴，

又直线AC的方程为，由，得，则，∵xA=2，∴，

，

同理，------9分

，-

即．

综上所述：