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    【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为， ， 分别为椭圆的上顶点和右焦点， 的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.

    （1）求直线的斜率；

    （2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点， ，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.

    【答案】(1) (2) 存在常数

    【解析】试题分析：(1)由题意得到椭圆的方程为. 直线的方程为，联立消去得，从而得线段的中点 ，进而得到直线的斜率；(2) 设直线的方程为. 联立方程得到同理得到

    ，∴存在常数，使得.

    试题解析：

    （1）因为椭圆的离心率为，所以，即， ，

    所以， ，所以，所以，所以椭圆的方程为.

    直线的方程为，联立消去得，所以或，

    所以，从而得线段的中点.

    所以直线的斜率为.

    （2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为.

    联立得所以点的坐标为.

    所以， .

    所以.

    联立消去得，

    由已知得，又，得.

    设， ，则， ，

    ， .

    所以 ，

    ，

    故 .

    所以.所以存在常数，使得.

    练习册系列答案
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    （3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差，乙基地的500个桔柚直径的样本方差，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.

    附：，.

    若，则.

    ，.

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    （2）若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率.

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