Question

【题目】已知边长为的正方形与菱形所在平面互相垂直， 为中点．

（1）求证： 平面；

（2）若,求四面体的体积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）∵四边形是正方形，证得∥平面, ∥平面,即可利用面面平行的判定定理，证得平面，进而得到平面；

（2）取中点，连结，证的平面，得到为四面体的高，然后利用等体积法求解即可．

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC平面ADF，AD平面ADF，

∴BC∥平面ADF．∵四边形ABEF是菱形，

∴BE∥AF．

∵BE平面ADF，AF平面ADF，

∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，

∴平面BCE∥平面ADF．

∵EM平面BCE，∴EM∥平面ADF．

（2）取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，

∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴EP=．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴EP⊥平面ABCD， ∴EP为四面体E﹣ACM的高．

∴.