Question

在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、中点坐标公式等基础知识，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、分类讨论思想、坐标化方法等.第一问，设出动点坐标，利用斜率的关系列出表达式，整理出方程；第二问，先根据直线的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，因为相交，所以联立方程，消参，得到关于的方程，找到中点坐标，因为，所以找直线的垂直平分线，令，得到纵坐标，讨论的正负，利用基本不等式得到范围.
试题解析：（1）设动点的坐标为，依题意可知，
整理得.                     3分
所以动点的轨迹的方程为.            5分
（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.       7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
将代入并整理得，
.  .           8分  
设，，则，.
设的中点为，则，，
所以.                 10分
由题意可知，
又直线的垂直平分线的方程为.
令解得 .                        .   11分
当时，因为，所以；      
当时，因为，所以.   .   13分
综上所述，点纵坐标的取值范围是.               .   14分
考点：1.椭圆的标准方程；2.中点坐标公式；3.垂直平分线方程；4.基本不等式.