在平面直角坐标系中,已知点
,
,
为动点,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
与曲线
相交于不同的两点
,
.若点
在
轴上,且
,求点
的纵坐标的取值范围.
(1);(2)
.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、中点坐标公式等基础知识,突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、分类讨论思想、坐标化方法等.第一问,设出动点坐标,利用斜率的关系列出表达式,整理出方程;第二问,先根据直线的斜率是否存在进行讨论,当斜率存在时,设出直线方程,因为相交,所以联立方程,消参,得到关于的方程,找到
中点坐标,因为
,所以找直线
的垂直平分线,令
,得到纵坐标,讨论
的正负,利用基本不等式得到范围.
试题解析:(1)设动点的坐标为
,依题意可知
,
整理得. 3分
所以动点的轨迹
的方程为
. 5分
(2)当直线的斜率不存在时,满足条件的点
的纵坐标为
. 7分
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
.
将代入
并整理得,
.
. 8分
设,
,则
,.
设的中点为
,则
,
,
所以. 10分
由题意可知,
又直线的垂直平分线的方程为
.
令解得
. . 11分
当时,因为
,所以
;
当时,因为
,所以
. . 13分
综上所述,点纵坐标的取值范围是
. . 14分
考点:1.椭圆的标准方程;2.中点坐标公式;3.垂直平分线方程;4.基本不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在周长为定值的DDEC中,已知,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,
有最小值
.
(1)以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;
(2)直线l分别切椭圆G与圆(其中
)于A、B两点,求|AB|的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设点A(,0),B(
,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为
.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若直线过点F(1,0)且绕F旋转,
与圆
相交于P、Q两点,
与轨迹C相交于R、S两点,若|PQ|
求△
的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设是抛物线
上相异两点,
到y轴的距离的积为
且
.
(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知定点A(-2,0)、B(2,0),异于A、B两点的动点P满足,其中k1、k2分别表示直线AP、BP的斜率.
(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程;
(Ⅱ)若N是直线x=2上异于点B的任意一点,直线AN与(I)中轨迹E交予点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M(异于点B),点C(1,0),求证:|CM|·|CN| 为定值.
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