【题目】已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N* , n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).
1 | 2 | 3 | … | m+n |
(Ⅰ)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
(Ⅱ)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)< .
【答案】解:(Ⅰ)设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球,
则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2| )P(
)
=
= =
.
证明:(Ⅱ)∵X的所有可能取值为 ,…,
,
P(x= )=
,k=n,n+1,n+2,…,n+m,
∴E(X)= (
)=
= <
=
= (
)
= =
,
∴E(X)< .
【解析】(Ⅰ)设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2| )P(
),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.
(Ⅱ)X的所有可能取值为 ,…,
,P(x=
)=
,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=
(
)=
,由此能证明E(X)<
.
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【题目】已知函数f(x)=excosx﹣x.(13分)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
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【题目】如下图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为
,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1 , 过点F2作直线PF2的垂线l2 .
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线l1 , l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
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【题目】在直角梯形PBCD中, ,A为PD的中点,如下左图。将
沿AB折到
的位置,使
,点E在SD上,且
,如下图。
(1)求证: 平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
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【题目】(本小题满分14分)
如图1,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1) 证明:AD⊥平面PBC;
(2) 在∠ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.
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【题目】已知直线过椭圆
的右焦点且与椭圆
交于
两点,
为
中点,
的斜率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
的动弦,且其斜率为1,问椭圆
上是否存在定点
,使得直线
的斜率
满足
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为 .
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