Question

【题目】已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，

切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），

曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（2）

解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，

当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2exsinx≤0，

即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，

则f（x）在[0， ]递减，

即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；

最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．

【解析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．