Question

已知函数f（x）=x²-ax+

a

2

，x∈[0，1]．
（1）当a=2时，求f（x）的最小值；
（2）当a∈R时，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=2带入f（x）得到f（x）=（x-1）²，所以x=1时，f（x）取到最小值0；
（2）先求出f（x）的对称轴，x=

a

2

，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，而根据函数f（x）单调性及取得顶点的情况即可求出f（x）的最小值．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=x²-2x+1=（x-1）²；
∴f（1）=0是f（x）在[0，1]上的最小值；
（2）f（x）的对称轴为x=

a

2

；
∴①

a

2

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]上单调递增；
∴f(0)=

a

2

是f（x）的最小值；
②0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，f（

a

2

）=-

a2

4

+

a

2

是f（x）的最小值；
③

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递减；
∴f(1)=1-

a

2

是f（x）的最小值．

点评：考查完全平方式，二次函数的单调性，以及根据单调性及二次函数取得顶点的情况求函数的最小值．