Question

【题目】如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．

（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；
（2）求E到平面ACD的距离；
（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

∵AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．

∴A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F（0，2，2），

∵ =（0，0，﹣4）， =（﹣2，2，2），

设异面直线AB与EF所成角为θ，

则cosθ= = = ，

即异面直线AB与EF所成角的余弦值为

（2）解：设平面ACD的一个法向量 =（x，y，1），

∵ =（4，0，﹣4）， =（﹣4，4，0），

由 ，得 ，

故 =（1，1，1），

∵F∈平面ACD， =（﹣2，2，2），

∴E到平面ACD的距离d= = =

（3）解：由（2）中平面ACD的一个法向量 =（1，1，1），

设EF与平面ACD所成角为α．

则sinα=cos＜ ， ＞= = = ．

【解析】（1）如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出异面直线AB与EF的方向向量，代入向量夹角公式，可得异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求出平面ACD的一个法向量 =（1，1，1），结合F∈平面ACD， =（﹣2，2，2），可得：E到平面ACD的距离d= ；（3）由（2）中平面ACD的一个法向量 =（1，1，1），设EF与平面ACD所成角为α．则sinα=cos＜ ， ＞．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．