Question

6．已知函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x）=f（2-x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₀₁₂），则{a_n}的前2017项之和为（　　）

• A． 0
• B． 2017
• C． 2016
• D． 4034

Answer 1

分析 函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x）=f（2-x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．由f（a₆）=f（a₂₀₁₂），可得a₆+a₂₀₁₂=2，再利用等差数列的通项公式及其性质、求和公式即可得出．

解答 解：∵函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x）=f（2-x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．
∵f（a₆）=f（a₂₀₁₂），∴a₆+a₂₀₁₂=2，
又数列{a_n}是公差不为0的等差数列，
∴a₆+a₂₀₁₂=a₁+a₂₀₁₇，
则{a_n}的前2017项之和=$\frac{2017（{a}_{1}+{a}_{2017}）}{2}$=2017×$\frac{2}{2}$=2017．
故选：B．

点评 本题考查了函数的对称性、等差数列的通项公式及其性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．