Question

17．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[-1，3]上的零点个数；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[-3，0]，任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f′（x）的解析式，通过讨论a的范围，求出方程f′（x）=0的零点个数即可；
（Ⅱ）对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等价于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（ I）易求f（x）的最大值、最小值，从而可得|f（x₁）-f（x₂）|_max，进而问题转化为对于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，构造关于a的一次函数g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
a＜-1时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点，
-1≤a＜1时，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2个零点，
a=1时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点，
1＜a≤3时，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2个零点，
a＞3时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点；
（Ⅱ）对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，
不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
等价于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
当a≤0时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，
∴f（x）的增区间为（-∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）；
故f（x）在[0，1]上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且f（0）=0，f（2）=4，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（2）-f（1）=5-3a，
则问题转化为对于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，
即对于任意的a∈[-3，0]，（m²-3）a-m+5≤0恒成立．
构造g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，
只需 $\left\{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}\right.$，解得m∈[5，+∞），
∴实数m的取值范围是[5，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．