Question

6．设函数f（t）=t²-t+2．
（1）当t∈R时，求f（t）的值域．
（2）当t∈[-1，2]时，求f（t）的值域．
（3）令t=sinx，求f（sinx）的值域．

Answer 1

分析 （1）本题是已知函数的定义域为实数集R的二次函数的值域问题的求解，基本方法是配方法，显然f（t）=t²-t+2=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，因此能很容易地解得函数的值域．
（2）先求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值即可求出值域．
（3）先求f（sinx）的解析式，再利用，二次函数的性质，正弦函数的单调性质即可求得答案．

解答 解：（1）对函数式进行配方得到：f（t）=t²-t+2=t²-t+$\frac{1}{4}$+$\frac{7}{4}$=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
由于函数的定义域是R，于是可得当t=$\frac{1}{2}$时，函数的最小值为$\frac{7}{4}$，
从而函数的值域为：[$\frac{7}{4}$，+∞）．
（2）由：f（t）=t²-t+2=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
得：f（t）的对称轴是t=$\frac{1}{2}$，
∴函数在[-1，$\frac{1}{2}$]递减，在[$\frac{1}{2}$，2]递增，
∴f（t）_最小值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，f（t）_最大值=f（2）=4，
∴函数的值域是[$\frac{7}{4}$，4]．
（3）∵由t=sinx，可得：f（sinx）=（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∴当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（sinx）_min=$\frac{7}{4}$，
当sinx=-1时，f（sinx）_max=4，
∴函数的值域是[$\frac{7}{4}$，4]．

点评 本题考查二次函数的值域的求法，方法是配方法，配方法是高考考查的重点方法，学生要做到很熟练的对二次式进行配方，着重考查正弦函数的单调性质，利用二次函数的配方法解决是关键，考查转化思想，属于中档题．