Question

14．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE的体积最大时，求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由矩形性质得出DE⊥CD，DE∥BC，由圆的性质得出BC⊥AC，故而DE⊥AC，于是DE⊥平面ACD，从而得出平面ADE⊥平面ACD；
（2）设AC=x，求出棱锥C-ADE的体积，利用基本不等式得出当x=2$\sqrt{2}$时棱锥体积最大，以C为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{CE}$和平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞|即为所求．

解答 （1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥AB，
∵四边形DCBE是矩形，∴CD⊥DE，DE∥BC．
∴AC⊥DE．
又AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
∴DE⊥平面ACD．∵DE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD．
（2）解：设AC=x，则BC=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴V_C-ADE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×1×\sqrt{16-{x}^{2}}$=$\frac{x\sqrt{16-{x}^{2}}}{6}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}（16-{x}^{2}）}}{6}$≤$\frac{16}{12}$=$\frac{4}{3}$．
当且仅当x²=16-x²即x=2$\sqrt{2}$时，V_C-ADE取得最大值．
以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则A（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，0），D（0，0，1），E（0，2$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{CE}$=（0，2$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（-2$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（0，2$\sqrt{2}$，0）．
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}x+z=0}\\{2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$．
令x=$\sqrt{2}$得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，0，4），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{4}{3•3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．