Question

5．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，E为BC中点，F在棱PD上，则当EF与平面PAD所成角最大时，点B到平面AEF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 证明AE⊥平面PAD．当AF⊥PD时，线段AF长度最小，EF与平面PAD所成角最大，利用V_C-AEF=V_F-ADC，求出点B到平面AEF的距离．

解答 解：如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∵BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∵PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD．
当AF⊥PD时，线段AF长度最小，EF与平面PAD所成角最大．
∵AB=2，∴AE=$\sqrt{3}$，
∵PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=1．
在Rt△ADF中，可得F到平面ACD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B到平面AEF的距离等于C到平面AEF的距离h，
∴V_C-AEF=V_F-ADC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查三棱锥体积的公式的运用，属于中档题．