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    【题目】如图，矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，，，，.

    （1）求异面直线与所成角的余弦值；

    （2）求二面角的正弦值.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）建立空间直角坐标系，根据即可求解异面直线所成角的余弦值；

    （2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.

    矩形所在的平面垂直于平面，为的中点，在平面内过作的垂线交于，根据面面垂直的性质可得平面，

    同理在平面内过作的垂线交于，根据面面垂直的性质可得平面，所以两两互相垂直，

    如图所示，建立空间直角坐标系，

    因为，所以，

    易得，

    （1）由上述点坐标可知，，所以直线与所成角的余弦值；

    （2）因为，设平面的法向量为，则

    解得，取，可得，

    设平面的法向量为，则

    解得，取，可得，

    设二面角的平面角为，则，

    所以.

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    （1）求与的交点的直角坐标；

    （2）求上的点到直线的距离的最大值．

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    【题目】选修4—4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

    （Ⅰ）若α＝，求线段AB中点M的坐标；

    （Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直线l的斜率．

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    【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：

    AQI

    空气质量

    优

    良

    轻度污染

    中度污染

    重度污染

    重度污染

    天数

    6

    14

    18

    27

    25

    10

    （1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

    （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

    （i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

    （ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.

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    【题目】已知函数， ．

    （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

    （Ⅱ）求函数在上的最小值；

    （Ⅲ）若函数，当时， 的最大值为，求证： .

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    【题目】在边长为8正方形中，点为的中点，是上一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有个不同的点，使得，则实数的取值范围为______.

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    【题目】从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高.据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

    （1）求第六组、第七组的频率，并估计高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

    （2）学校决定让这五十人在运动会上组成一个高旗队，在这五十人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在的人数，求X的分布列和数学期望.

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    【题目】已知点M，N分别是椭圆C：（）的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，椭圆的离心率为.

    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C相交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求面积的取值范围.

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    【题目】设函数.

    （1）证明：，都有；

    （2）若函数有且只有一个零点，求的极值.

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