Question

19．已知函数f（x）=x²-2x+k，且log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，a＞0，且a≠1．
（1）求a，k的值；
（2）当x为何值时，f（log_ax）有最小值？求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）因为log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，所以log₂（a²-2a+k）=2，log₂a=0，或log₂a=2，解得a，k的值；
（2）f（logax）=f（log4x）=（log4x）2-2log4x-4=（log2x-1）2-5，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值．

解答 解：（1）因为log₂f（a）=2，f（log₂a）=k所以log₂（a²-2a+k）=2，log₂a=0，或log₂a=2-------------3
a²-2a+k=4，a=1，或a=4，
又a＞0，且a≠1，
所以a=4，k=-4--------------------------------5
（2）f（log_ax）=f（log₄x）=（log₄x）²-2log₄x-4=（log₂x-1）²-5．------------7
所以当log₄x=1，即x=4时，f（log_ax）有最小值-5．-------------------------------10

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．