Question

已知函数f（x）=ln

x

1-x

，若f（a）+f（b）=0，且0＜a＜b＜1，求ab的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由已知中f（x）=ln

x

1-x

，f（a）+f（b）=0，结合对数的运算性质可得a+b=1，再由0＜a＜b＜1，结合基本不等式，可得a•b的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=ln

x

1-x

，
∴f（a）+f（b）=ln

a

1-a

+ln

b

1-b

=ln（

a

1-a

×

b

1-b

）=0，
即

a

1-a

×

b

1-b

=1，
即ab=1-a-b-ab，
即a+b=1，
∵0＜a＜b＜1，
∴0＜a•b＜(

a+b

2

)2=

1

4

，
故a•b的取值范围为（0，

1

4

）

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，基本不等式，其中根据已知分析出a+b=1是解答的关键，本题易忽略a≠b而错解为（0，

1

4

]