Question

若M为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1上动点，直线L经过圆（x-1）²+y²=

1

2

的圆心P，且与圆P交于A、B两点，则2

MA

•

MB

的最大值为（　　）

• A、18
• B、17
• C、16
• D、15

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M(2cosθ，

3

sinθ)．由圆（x-1）²+y²=

1

2

的圆心P（1，0），半径r=

2

2

．由于

MA

+

MB

=2

MP

，

MB

-

MA

=

AB

．利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：设M(2cosθ，

3

sinθ)．
圆（x-1）²+y²=

1

2

的圆心P（1，0），半径r=

2

2

．
∵

MA

+

MB

=2

MP

，

MB

-

MA

=

AB

．
∴

MA

2+

MB

2+2

MA

•

MB

=4

MP

2，

MB

2+

MA

2-2

MA

•

MB

=

AB

2．
∴4

MA

•

MB

=4

MP

2-

AB

2，
∴2

MA

•

MB

=2

MP

2-

( 2 )2

2

=2[(1-2cosθ)2+(

3

sinθ)2]-1
=2（cosθ-2）²-1≤2×3²-1=17，当cosθ=-1时取等号．
∴2

MA

•

MB

的最大值为17．
故选：B．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、数量积的运算性质和余弦函数的单调性、圆的对称性、椭圆的参数方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．