Question

关于x的不等式x²-ax-a＞0在x∈[0，2]时恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（

  4

  3

  ，+∞）
• B、（0，

  4

  3

  ）
• C、[0，

  4

  3

  ]
• D、（-∞，0）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵不等式x²-ax-a＞0对所有x∈[0，2]恒成立，
∴a（x+1）＜x²，
∴a＜

x2

x+1

，
设f（x）=

x2

x+1

，
∴f′（x）=

x(x+2)

(x+1)2

≥0，
∴函数f（x）在[0，2]上单调递增，
∴x=0时，函数取得最小值为0
∴a＜0
∴实数a的取值范围为（-∞，0），
故选：D

点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用函数的单调性求解．