Question

19．若不等式ax²+bx-1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）试求a、b的值；
（2）求不等式$\frac{ax+1}{bx-1}$≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（2）由（1）把不等式$\frac{ax+1}{bx-1}$≥0化为$\frac{-\frac{1}{2}x+1}{\frac{3}{2}x-1}$≥0，求出解集即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²+bx-1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
∴a＜0，且1和2是方程ax²+bx-1=0的两根，
由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}=3}\\{\frac{-1}{a}=2}\\{a＜0}\end{array}\right.$，于是得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；…（5分）
（2）由（1）得不等式$\frac{ax+1}{bx-1}$≥0得，
即为$\frac{-\frac{1}{2}x+1}{\frac{3}{2}x-1}$≥0，
∴（-$\frac{1}{2}$x+1）（$\frac{3}{2}$x-1）≥0且$x≠\frac{2}{3}$，
因此（x-2）（x-$\frac{2}{3}$）≤0且$x≠\frac{2}{3}$，
解得$\frac{2}{3}$＜x≤2；
即原不等式的解集是$\left\{{x\left|{\frac{2}{3}＜x≤2}\right.}\right\}$．…（10分）

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．