Question

10．若函数f（x）=a+xlnx有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [0，$\frac{1}{e}$]
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{e}$]
• D． （-$\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 求导f′（x）=lnx+1，从而可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是减函数，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函数，结合函数在定义域内的极限，可得函数f（x）=a+xlnx有两个零点时，实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=a+xlnx有两个零点，
∴函数f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，函数为减函数；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数；
故当x=$\frac{1}{e}$时，函数取最小值a-$\frac{1}{e}$，
又∵$\lim_{x→{0}^{+}}$f（x）=a，$\lim_{x→+∞}$f（x）=+∞；
∴若使函数f（x）有两个零点，
则a＞0且a-$\frac{1}{e}$＜0，
即a∈（0，$\frac{1}{e}$），
故选：B

点评 本题考查了导数法求函数的最小值，函数的零点，对数函数的图象和性质，属于中档题