Question

【题目】如图，已知双曲线的两条渐近线分别为.为坐标原点，动直线分别交直线于两点(分别在第一四象限)，且的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】存在，双曲线的方程为：

【解析】

当轴时，利用三角形面积公式，结合题意求出双曲线的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系，结合三角形面积公式，证明当直线与轴不垂直时，该双曲线也满足条件即可.

设双曲线的方程为，设直线与轴相交于点.

当轴时，若直线与双曲线有且只有个公共点，则.又因为的面积为8，所以，因此，解得，

双曲线的一条渐近线方程为：，即，

此时双曲线的方程为.

若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为.

以下证明：当直线与轴不垂直时，双曲线也满足条件.

设直线的方程为，依题意，得或，则，

记.得，同理得.由，

得，即，

由得.因为，

所以.又因为，所以，即与双曲线有且只有一个公共点.

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