Question

6．已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个相异实根均大于3．若p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真命题时，实数a的取值范围．进而根据p、q中有且仅有一个为真命题，得到答案．

解答 解：若命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减为真命题，
则2a-6∈（0，1），解得：a∈（3，$\frac{7}{2}$），
若命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个相异实根均大于3，
则$\left\{\begin{array}{l}9{a}^{2}-4（2{a}^{2}+1）＞0\\ \frac{3a}{2}＞3\\ 9-9a+2{a}^{2}+1＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（$\frac{5}{2}$，+∞），
若p、q中有且仅有一个为真命题，
故p假q真，
故a∈（$\frac{5}{2}$，3]∪[$\frac{7}{2}$+∞）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，指数函数的图象和性质，二次方程的根等知识点，难度中档．