Question

14．设向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx-sinωx，-1），$\overrightarrow{b}$=（2sinωx，-1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期为4π．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）若sinx₀是关于t的方程2t²-t-1=0的根，且x₀∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），求f（x₀）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式，再根据周期求得ω的值，从而求出函数的对称中心；
（2）求得 方程2t²-t-1=0的两根，可得sinx0=-$\frac{1}{2}$，可得x₀的值，从而求得f（x₀）的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cosωx-sinωx，-1）•（2sinωx，-1）=2sinωxcosωx-2sin²ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
因为 T=4π，所以ω=$\frac{1}{4}$，
由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$=2kπ，解得：x=4kπ-$\frac{π}{2}$，
故f（x）的对称中心是（4kπ-$\frac{π}{2}$，0）；
（2）方程2t²-t-1=0的两根为 t₁=-$\frac{1}{2}$，t₂=1，
因为 x₀∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），所以 sinx₀∈（-1，1），
所以sinx₀=-$\frac{1}{2}$，即x₀=-$\frac{π}{6}$．
又由已知 f（x₀）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x₀+$\frac{π}{4}$），
所以 f（-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．